Cho nửa đường tròn tâm o

-

Cho nửa mặt đường tròn tâm O đường kính AB, M là 1 trong những điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn (M không giống A, B). Tiếp con đường tại M cắt các tiếp con đường Ax với By của nửa đường tròn kia lần lượt trên C với D.

Bạn đang xem: Cho nửa đường tròn tâm o

a) triệu chứng minh: (widehat COD = 90^0)

b) gọi K là giao điểm của BM cùng với Ax. Triệu chứng minh: (Delta KMO sim Delta AMD)

c) Tìm giá bán trị nhỏ nhất của tổng diện tích s hai tam giác ACM với BDM.


Lời giải của Tự học tập 365

Giải đưa ra tiết:

Cho nửa con đường tròn chổ chính giữa O đường kính AB, M là một điểm ngẫu nhiên thuộc nửa đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến đường tại M cắt các tiếp con đường Ax cùng By của nửa đường tròn kia lần lượt trên C với D.

 

*

a) minh chứng (widehat COD = 90^0).

Ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM (tính hóa học hai tiếp tuyến giảm nhau)

Mà (widehat AOM) và (widehat BOM) là nhì góc kề bù ( Rightarrow OC ot OD).

Xem thêm: Trong Mạch Điện Gồm 2 Bóng Đèn Mắc Nối Tiếp

( Rightarrow widehat COD = 90^0).

b) hotline K là giao điểm của BM và Ax. Minh chứng (Delta KMO sim Delta AMD)

Xét tứ giác OBDM gồm (angle OBD + angle OMD = 90^0 + 90^0 = 180^0 Rightarrow ) Tứ giác OBDM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác tất cả tổng nhị góc đối bằng 1800)

( Rightarrow angle ABM = angle ODM) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OM)

Lại gồm (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

( Rightarrow angle KAM = angle ODM)

Xét tam giác AMK cùng tam giác DMO có:

(angle KAM = angle ODM)(cmt)

( Rightarrow angle AMK = angle OMD = 90^0)

( Rightarrow Delta AMK sim Delta DMO,,left( g.g ight) Rightarrow fracMKMO = fracMAMD)

Ta có:

(eginarraylangle KMO = angle KMC + angle CMO = angle KMC + 90^0\angle AMD = angle AMB + angle BMD = angle BMD + 90^0endarray)

Mà (2 góc đối đỉnh)

Nên (angle KMO = angle AMD)

Xét tam giác KMO với tam giác AMD có:

 

( Rightarrow Delta KMO sim Delta AMD,,left( c.g.c ight))

c) Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.

Ta dễ dàng minh chứng được (Delta ACM sim Delta BOM,,left( g.g ight) Rightarrow fracS_ACMS_OBM = fracAC^2R^2 = fracAM^2BM^2)

Lại tất cả (S_OBM = frac12S_MAB Rightarrow S_ACM = frac12S_MAB.fracMA^2MB^2) 

Tương tự (Delta BDM sim Delta AOM,,left( g.g ight) Rightarrow fracS_BDMS_AOM = fracBD^2R^2 = fracBM^2AM^2)

Lại bao gồm (S_AOM = frac12S_MAB Rightarrow S_BDM = frac12S_MAB.fracBM^2AM^2)

( Rightarrow S_ACM + S_BDM = frac12S_MABfracAC^2 + BD^2R^2)

(Delta MAB sim Delta MCD,,left( g.g ight) Rightarrow fracS_MABS_MCD = fracAB^2CD^2 Rightarrow S_MAB = S_MCD.frac4R^2CD^2 = frac12R.CD.frac4R^2CD^2 = frac2R^3CD)

( Rightarrow S_ACM + S_BDM = frac12.frac2R^3CD.fracAC^2 + BD^2R^2 = R.fracAC^2 + BD^2CD)

Ta bao gồm (AC = CM;,,BD = BM;,,CD = cm + DM)

( Rightarrow S_ACM + S_BDM = R.fracCM^2 + DM^2CM + DM)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta tất cả (left( CM + DM ight)^2 le 2left( CM^2 + DM^2 ight) Rightarrow fracCM^2 + DM^2left( CM + DM ight)^2 ge frac12)

(eginarrayl Rightarrow fracCM^2 + DM^2CM + DM ge frac12left( CM + DM ight) = frac12CD ge frac12AB = R\ Rightarrow S_ACM + S_BDM = R.fracCM^2 + DM^2CM + DM ge R^2endarray)

Dấu bằng xẩy ra ( Leftrightarrow left{ eginarraylCM = DM\CD = ABendarray ight.) , khi đó M là điểm tại chính giữa của cung AB.

Vậy (left( S_ACM + S_BDM ight)_min = R^2 Leftrightarrow M) là điểm ở vị trí chính giữa của cung AB.